Vážený průměr

Vážený průměr zobecňuje aritmetický průměr a poskytuje charakteristiku statistického souboru v případě, že hodnoty v tomto souboru mají různou důležitost, různou váhu. Používá se zejména při počítání celkového aritmetického průměru souboru složeného z více podsouborů.

Pro výpočet váženého průměru potřebujeme jednak hodnoty, jejichž průměr chceme spočítat, a zároveň jejich váhy.

Máme-li soubor $n$ hodnot

$X=\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}$

a k nim odpovídající váhy

$W=\{w_1,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n\}$,

je vážený průměr dán vzorcem

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i{x}_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i}$

či

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3+...+w_n{x}_n}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}$

Pokud jsou všechny váhy stejné, je vážený průměr totožný s aritmetickým průměrem. Ačkoli se vážený průměr chová podobně jako aritmetický průměr, má několik nezvyklých vlastností, které jsou například vyjádřeny v Simpsonově paradoxu.

Vážené verze jiných průměrů lze také spočítat. Příkladem je vážený geometrický průměr nebo vážený harmonický průměr.

Příklad

Řekněme, že škola má dvě třídy, jednu s 20 studenty a druhou s 32. Bodové ohodnocení v každé třídě při jednom testu bylo

• Třída A — 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
• Třída B — 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

Aritmetický průměr bodů ve třídě A je 80, ve třídě B je 90. Když spočítáme aritmetický průměr 80 a 90, dostaneme 85. Toto ovšem není aritmetický průměr bodů všech studentů. K jeho určení potřebujeme spočítat součet všech bodů a vydělit počtem všech studentů, tedy

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\frac{4480}{52}\doteq <!--\; \doteq \; -->86,15$

Nebo si můžeme pomoci váženým průměrem a spočítat vážený průměr průměrů bodů obou tříd použitím počtu studentů jako vah:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}=\frac{20\cdot <!--\; \cdot \; -->80+32\cdot <!--\; \cdot \; -->90}{20+32}\doteq <!--\; \doteq \; -->86,15$

Nyní jsme již k vypočítání aritmetického průměru všech bodů nepotřebovali znát jednotlivé známky, stačily nám pouze aritmetické průměry a počty studentů v jednotlivých třídách.

Příklad z praxe

Průměrná denní teplota se v meteorologii stanovuje jako průměr z teploty vzduchu naměřené v 7 hodin, teploty ve 14 hodin a teploty v 21 hodin, přičemž poslední údaj se započítává s dvojnásobnou váhou. Platí tedy

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{t}=\frac{t_7+t_{14}+2\cdot <!--\; \cdot \; -->t_{21}}{4}$