Substituce (matematika)

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). ^[1]

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. $2^{2x}+2^x-<!--\; -\; -->6=0$
2. Zavedeme substituci $a=2^x$:
   $a^2+a-<!--\; -\; -->6=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{1^2-<!--\; -\; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->6)}}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{25}}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->5}{2}$
   
   $a_1=\frac{-<!--\; -\; -->1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$
   
   $a_2=\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->5}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->6}{2}=-<!--\; -\; -->3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $2=2^x$
   2. $-<!--\; -\; -->3=2^x$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $2=2^x$
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo $2$ se dá napsat jako $2^1$:
         $2^1=2^x$
      2. $1=x$
      3. Výsledek je:
         $x=1$
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. $-<!--\; -\; -->3=2^x$
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit (alespoň mimo komplexní čísla, jinak je odpověď $\frac{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+ln\left(3\right)}{ln\left(2\right)}$).

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. $(\sin <!--\; \; -->x{)}^2+2\sin <!--\; \; -->x-<!--\; -\; -->3=0$
2. Zavedeme substituci $a=\sin <!--\; \; -->x$, takže dostaneme $a^2+2a-<!--\; -\; -->3=0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2}=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}=\frac{-<!--\; -\; -->2\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{2^2-<!--\; -\; -->4\cdot <!--\; \cdot \; -->1\cdot <!--\; \cdot \; -->(-<!--\; -\; -->3)}}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->1}=\frac{-<!--\; -\; -->2\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{16}}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->2\pm <!--\; \pm \; -->4}{2}$
   
   $a_1=\frac{-<!--\; -\; -->2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$
   
   $a_2=\frac{-<!--\; -\; -->2-<!--\; -\; -->4}{2}=\frac{-<!--\; -\; -->6}{2}=-<!--\; -\; -->3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $\sin <!--\; \; -->x=1$
   2. $\sin <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->3$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\sin <!--\; \; -->x=1$
      $x=\frac{1}{2}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$
   2. $\sin <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->3$
      rovnice nemá reálné řešení
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

• Substituční metoda (integrování)

Reference