Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje dynamicky rotační pohyb tělesa.

Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose otáčení.

Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

Značení

• Symbol veličiny: $L$ , někdy také b (vektor)
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg·m²·s⁻¹

Definice

Moment hybnosti $L$ hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče $r$ a hybnosti $p$,

$L=r\times <!--\; \times \; -->p$.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu $M=r\times <!--\; \times \; -->F$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

$M=r\times <!--\; \times \; -->F=r\times <!--\; \times \; -->\frac{dp}{dt}=\left(r\times <!--\; \times \; -->\frac{d\left(mv\right)}{dt}\right)+\left(\frac{dr}{dt}\times <!--\; \times \; -->mv\right)=\frac{d}{dt}(r\times <!--\; \times \; -->mv)=\frac{dL}{dt}$,

kde $r$ je polohový vektor, $v=\frac{dr}{dt}$ je rychlost, $m$ je hmotnost (hmotného bodu), $p=mv$ je hybnost, $M$ je moment síly, $L$ je moment hybnosti, $F$ je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin $v\times <!--\; \times \; -->mv$, tzn. v rovnici člen $\left(\frac{dr}{dt}\times <!--\; \times \; -->mv\right)$, je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu $O$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro $i$-tý hmotný bod podle vztah $M_i=\frac{d{L}_i}{dt}$. Z vlastností momentu síly pak plyne

$M=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{d{L}_i}{dt}=\frac{d}{dt}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{L}_i=\frac{dL}{dt}$,

kde $L=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{L}_i$ představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

Vztah mezi plošnou rychlostí $w$ a momentem hybnosti je

$L=mw$,

což souvisí s platností druhého Keplerova zákona.

Vztah k momentu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako $v=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->r$. Moment hybnosti soustavy $n$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

$L=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[r_i\times <!--\; \times \; -->m_i(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->r_i)\right]$

kde $r_i$ označuje polohu $i$-tého hmotného bodu s hmotností $m_i$ vzhledem k těžišti a $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojnásobného vektorového součinu dostaneme

$L=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i\left[r_i^2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->r_i)r_i\right]$

Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y,{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z$ a složky průvodiče $r_i$ jako $x_i,y_i,z_i$, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti $J$ pak lze získat

$L_x={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x{J}_x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y{D}_{xy}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z{D}_{zx}$

$L_y={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y{J}_y-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z{D}_{yz}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x{D}_{xy}$

$L_z={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_z{J}_z-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_x{D}_{zx}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_y{D}_{yz}$

kde $J_i$ jsou momenty setrvačnosti k $i$-té ose a $D_{ij}$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou

$L_1=J_1{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_1$

$L_2=J_2{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_2$

$L_3=J_3{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_3$

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako

$L=J\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

$J_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i\left[r_i^2{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}-<!--\; -\; -->r_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{r}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right]$

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$ označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

$L_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}=\underset{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$

a rotační energii tělesa ve tvaru

$E=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=1}{\overset{3}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{J}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro impuls momentu hybnosti (rotační impuls) $b$

$L-<!--\; -\; -->L_0={\int <!--\; \int \; -->}_{t_0}^{t}Mdt=b$

Pokud je silový moment $M$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

$L-<!--\; -\; -->L_0=M(t-<!--\; -\; -->t_0)$

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Podobně jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil

Součet momentů vnitřních sil v soustavě je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil v soustavě hmotných bodů: $M_i$ je moment hybnosti $i$-tého bodu. Mezi $i$-tým a $j$-tým bodem působí síla $F_{i,j}=-<!--\; -\; -->F_{j,i}$. Celkový moment vnitřních sil je $\sum <!--\; \sum \; -->M_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{r}_i\times <!--\; \times \; -->\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{F}_{i,j}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{r}_i\times <!--\; \times \; -->F_{i,j}$. Uvažujme nyní pouze interakci $i$-tého a $j$-tého bodu: $r_i\times <!--\; \times \; -->F_{i,j}+r_j\times <!--\; \times \; -->F_{j,i}=r_i\times <!--\; \times \; -->F_{i,j}-<!--\; -\; -->r_j\times <!--\; \times \; -->F_{i,j}=(r_i-<!--\; -\; -->r_j)\times <!--\; \times \; -->F_{i,j}$,

kde $r_i-<!--\; -\; -->r_j$ je spojnice $i$-tého a $j$-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) mohou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{r}\times <!--\; \times \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}$

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls $[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}}_k,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{P}}_l]=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{kl}$ lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

$[{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_k,{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_l]=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{kln}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_n$

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}^2|lm⟩<!--\; ⟩\; -->={\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}l(l+1)|lm⟩<!--\; ⟩\; -->$

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{L}}_3|lm⟩<!--\; ⟩\; -->=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}m|lm⟩<!--\; ⟩\; -->$

Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

• Hybnost
• Moment setrvačnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
• Rotační pohyb
• Orbitální moment hybnosti (záření)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu moment hybnosti na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo moment hybnosti ve Wikislovníku

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

Autoritní data	BNF: cb119820349 (data) GND: 4150572-4 LCCN: sh85005144 NLI: 987007294057705171