Přechodový jev (elektrický obvod)

Přechodový jev je fyzikální děj probíhající v čase mezi dvěma ustálenými stavy. V ustáleném stavu se energie soustavy nemění (popř. se mění periodicky), během přechodového děje dochází k jejím změnám.

Vznik jevu je podmíněn změnami energie v akumulačních prvcích obvodu (kondenzátory a cívky). Tyto změny nemohou proběhnout okamžitě, protože by vyžadovaly zdroj nekonečné energie. Charakter jevu závisí na druhu zapojených akumulačních prvků. Obsahuje-li obvod pouze jeden akumulační prvek obvodu (tj. kromě rezistoru pouze kondenzátor nebo pouze cívku), nemůže dojít k vratné výměně energie a děj probíhá aperiodicky. Pokud však obvod obsahuje oba akumulační prvky, dochází k periodické výměně energie mezi prvky - rezonance. Tyto obvody pak nazýváme oscilátory.

Přechodové jevy prvního řádu

RL obvod

RL obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na cívce vytvoří magnetické pole, které se bude zvětšovat a na cívce se začne indukovat napětí. Napětí na cívce je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)=U_0$ tj. $i\left(t\right)=\frac{U_0}{R}(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}})$ tj. $i\left(0\right)=0$ tj. $i\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=\frac{U_0}{R}$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie magnetického pole cívky měnit v rezistoru na energii tepelnou:

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)=0$ tj. $i\left(t\right)=\frac{U_0}{R}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$ tj. $i\left(0\right)=\frac{U_0}{R}$ tj. $i\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=0$,

časová konstanta je $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{L}{R}$.

RL obvod (střídavý)

RL obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)=U_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$ tj. $i\left(t\right)=\frac{U_0}{Z}(e^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$ tj. $i\left(0\right)=0$ tj. $i\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=\frac{U_0}{Z}\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})$

kde $Z^2=R^2+(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}L{)}^2$ a $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ představuje úhlovou frekvenci střídavé třífázové sítě ($\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$ viz výše). Uvedené řešení diferenciální rovnice je východiskem výpočtů zkratových poměrů v třífázových elektrizačních soustavách, viz norma ČSN EN 60909-0 ED.2 (333022).

RC obvod

RC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na kondenzátoru vytvoří elektrické pole, které se bude zvětšovat a kondenzátor se začne nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný náboj). Napětí na rezistoru je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na kondenzátoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na rezistoru snižovat a na kondenzátoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

$Ri\left(t\right)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}i\left(T\right)dT=U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici prvního řádu:

$R\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=0$ tj. $i\left(t\right)=\frac{U_0}{R}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$ tj. $i\left(0\right)=\frac{U_0}{R}$ tj. $i\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=0$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie elektrického pole kondenzátoru měnit v rezistoru na energii tepelnou:

$R\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=0$ tj. $i\left(t\right)=-<!--\; -\; -->\frac{U_0}{R}{e}^{-<!--\; -\; -->\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}}$ tj. $i\left(0\right)=-<!--\; -\; -->\frac{U_0}{R}$ tj. $i\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=0$,

kde časová konstanta je $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=RC$, tj. za čas $t=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$ se kondenzátor nabije zhruba na dvě třetiny své kapacity a za čas $t=3\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$ se kondenzátor nabije na 95% své kapacity, kondenzátor pak lze považovat za nabitý. Vybíjení kondenzátoru probíhá reverzně k nabíjení.

Lineární pasivní elektrický RC obvod měnící signál v závislosti na kmitočtu se užívá jako frekvenční filtr, např. horní propust nebo dolní propust.

Přechodové jevy druhého řádu

LC obvod

LC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}i\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=0$ tj. $i\left(t\right)=i\left(0\right)\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t$ - pro $U_0=0$

kde ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=\frac{1}{\surd <!--\; \surd \; -->LC}$ představuje rezonanční úhlovou frekvenci netlumeného kmitání.

RLC obvod

RLC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru (odporu), ideální cívky (indukčnosti) a ideálního kondenzátoru (kapacity) a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}i\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}+R\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=0$ tj. $i\left(t\right)=i\left(0\right)e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$ - pro $U_0=0$ a $R\to <!--\; \to \; -->0$

a kde $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\sqrt{\frac{1}{LC}-<!--\; -\; -->\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}$ pro ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2>{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2$ představuje úhlovou frekvenci tlumeného kmitání.

Charakteristická rovnice výše uvedené homogenní diferenciální rovnice je ve tvaru:

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2+\frac{R}{L}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}+\frac{1}{LC}=0$ tj. ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{1,2}=-<!--\; -\; -->\frac{R}{2L}\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{LC}}$

a pro diskriminant uvedené kvadratické rovnice platí:

$D>0$ - řešením jsou dva různé reálné kořeny ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1$ a ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2$ a děj je aperiodický

$D=0$ - řešením jsou dva shodné reálné kořeny ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_2$ a děj je na mezi periodicity

- řešením jsou dva kořeny komplexně sdružené a děj je periodický (viz řešení výše uvedené diferenciální rovnice).

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}i\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=U_0{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}+R\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{U}_0{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$

a kde $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ představuje úhlovou frekvenci kmitání střídavého napětí.

Řešení výše uvedené rovnice ve tvaru:

$i\left(t\right)=I_0{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$ tj. $\frac{di\left(t\right)}{dt}=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{I}_0{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$ tj. $\frac{d^{2}i\left(t\right)}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{I}_0{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t}$

dosaďme do výše uvedené rovnice, pak dostaneme:

$(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}L{I}_0+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}R{I}_0+\frac{1}{C}{I}_0)=j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{U}_0$ tj. $I_0(R+j(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}L-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}C}\left)\right)=U_0$ tj. $I_{0}Z=U_0$.

Související články

• Rezonanční obvod
• Elektrický obvod
• Elektrický zkrat

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu přechodové jevy na Wikimedia Commons
• Sériový RLC obvod (anglicky)
• Sériový RLC obvod (anglicky) Archivováno 23. 9. 2022 na Wayback Machine.
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě

Autoritní data	LCCN: sh85136924 NLI: 987007546196005171