Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy $x$ a třetí souřadnice (označovaná $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$) úhel mezi průvodičem a osou $z$.

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

$x=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$

$y=r\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$

$z=r\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\mathrm{arctg2}<!--\; \; -->(y,x),$

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\arccos <!--\; \; -->\left(\frac{z}{r}\right),$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu $0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$ a .

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

$J=r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+r^2{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^2.$

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$dV=r^2\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}drd\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu sférická soustava souřadnic na Wikimedia Commons
• Kniha Geometrie/Soustavy souřadnic/Sférická soustava souřadnic ve Wikiknihách

soustavy souřadnic
typy soustav	kartézská • ortogonální • afinní • zobecněná
rovinné soustavy (2D)	polární • bipolární • biangulární
prostorové soustavy (3D)	sférická • válcová
vícerozměrné soustavy (4D+)	hypersférická

Autoritní data	PSH: 327 GND: 7521117-8