Kramersovy–Kronigovy relace

Kramersovy–Kronigovy relace umožňují spočítat reálnou část odezvy lineárního pasivního systému, známe-li imaginární části odezvy při všech frekvencích (nebo naopak určit imaginární část ze znalosti části reálné). Při analýze optických konstant hrají důležitou roli a jsou hojně využívány, protože platí např. pro elektrickou vodivost σ (vystupující v ohmově zákoně j(ω)=σ(ω)E(ω). Abychom mohli Kramers–Kronigovu analýzu provést, musí funkce odezvy α(ω)=α₁(ω)+iα₂(ω) splňovat:

1. Póly α(ω) jsou všechny pod reálnou osou
2. Při integraci přes nekonečně velkou polokružnici v horní polorovině komplexní roviny, je integrál z α(ω)/ω roven nule
3. Pro $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->R$ je α₁(ω) sudá a α₂(ω) lichá

Potom platí:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}P\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{s{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2\left(s\right)}{s^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}ds.$

a

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\right)=-<!--\; -\; -->\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}P\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\left(s\right)}{s^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}ds=-<!--\; -\; -->\frac{2\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}P\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\left(s\right)}{s^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}ds.$

$P$ značí hlavní hodnotu integrálu.

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.